Porcentaje El signo del porcentaje.
En matemáticas, el porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que 
tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmentetanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.
El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1 Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado: y, operando: El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir: 640 unidades en total. El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo, si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay 150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una proporción mayor en el segundo país. El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un símbolo que representaba «P cento» (c. 1425). Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y ‱ (por diez mil, también conocido como un punto básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente. Recta numérica La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simple, implicando especialmente números negativos. Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta n La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido. umérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado. Recta real. La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto. Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. Proporcionalidad: directa e inversa Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón. Razón y proporción numérica Razón entre dos números Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Entonces: Razón entre dos números a y b es el cociente entre Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que Y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es Proporción numérica Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica. Entonces: Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir Se lee “a es a b como c es a d” Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20. Es decir En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. Así, en la proporción anterior se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40 Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos: Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa. Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales. Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Ejemplo Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer? Número de sacos 1 2 3 ... 26 ... Peso en kg 20 40 60 ... 520 ... Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20 Observa que Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos. PSU: Matemática; Pregunta 07_2006 Pregunta 06_2007 REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua ycantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla: Litros de agua 50 x Gramos de sal 1.300 5.200 Se verifica la proporción: Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta: 50 por 5.200 = 1.300 por x Es decir En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. Ver: El Interés y el dinero Ver: PSU: Matemática; Pregunta 02_2005 Pregunta 05_2005 Pregunta 02_2006 Ejemplo 2 Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales). Formamos la tabla: Hombres 3 6 9 ... 18 Días 24 12 8 ... ? Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72 Por tanto 18 por x = 72 O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual. Importante: Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante. Ver. PSU: Matematica, Pregunta 10 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA) Ejemplo 1 Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas Nº de vacas 220 450 Nº de días 45 x Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: Luego 450 vacas podrán comer 22 días Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa. Ejemplo 2 Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad Ejemplo 1: Proporcionalidad directa Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento? Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales. El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales. Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto. SABEMOS QUE pesos REDUCCIÓN A LA UNIDAD pesos pesos pesos BÚSQUEDA DEL RESULTADO pesos Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias? Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales. Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales. Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo. SABEMOS QUE REDUCCIÓN A LA UNIDAD BÚSQUEDA DEL RESULTADO Sucesión matemática Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es unasucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es unasucesión acotada. Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término(también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión. A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta. Ejemplo La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, . En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ... En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto. Definiciones Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva. Definición formal[editar • editar código] Una sucesión finita (de longitud m) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función . y en este caso el elemento corresponde a . Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: corresponde a la función (donde es el conjunto de números primos) definida por: . Una sucesión infinita con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función . en donde, de forma análoga, corresponde a . Notación[editar • editar código] Notaremos por a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos . La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario. Definición de término general[editar • editar código] Llamaremos término general de una sucesión a ,donde el subíndice indica el lugar que ocupa en dicha sucesión. Definición de parcial[editar • editar código] Llamaremos parcial de a una sucesión donde . Progresión aritmética En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia". Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3". Término general de una progresión aritmética[editar • editar código] El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es: Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por , n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero. n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero. La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética: de diferencia tenemos que: ... sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos: (I) expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos y ( ) de la progresión anterior y pongámolos en función de : Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos: (II) expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia. Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos: d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. • Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... ( ) d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales. • Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... ( ) d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior. • Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ( ) Polinomio En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)12 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enterospositivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas. Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc. Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales. En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica. Polinomios de una variable[editar • editar código] Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado. Polinomios de varias variables[editar • editar código] Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios: En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente. Grado de un polinomio[editar • editar código] Artículo principal: Grado (polinomio). Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. Ejemplos P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente). P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno. P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos. P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres. Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como . En particular los números son polinomios de grado cero. Operaciones con polinomios[editar • editar código] Artículo principal: Operaciones con polinomios. Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes. Ejemplo Sean los polinomios: y , entonces el producto es: Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente: Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene: Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto : (*) Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo. OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS OPERACIONES BÁSICAS CON POLINOMIOS • SUMA Y RESTA Solo se pueden sumar y restar cosas iguales, por ejemplo: manzanas con manzanas; metros con metros; pesos con pesos, etc. Los ejemplos anteriores se relacionan con el hecho de que sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes. SUMAR: significa que respetes el signo de cada término que se coloca después del símbolo de suma. RESTA: significa que debemos cambiar por el inverso aditivo el coeficiente del término que está después del símbolo de resta. EJEMPLOS: (3x+4y-5z) + (-3y+3z+x) Primero se identifican los términos semejantes Después se realiza ya sea suma o resta para obtener el producto final RESULTADO: 4x+y-2z (-2b+4c-5a) + (-a+2b+2c)= -6a+6c • PRODUCTO 1. Se multiplicará cada término del primer polinomio por el otro polinomio. 2. Se tendrá en cuenta los signos para que el resultado sea el adecuado. EJEMPLOS: (2x-3y) ( )= - Se multiplica primero el 2x por los términos del otro polinomio y después el -3y ( ) ( )= - • COCIENTE Para resolver este tipo de divisiones es necesario el uso de la galera, pues no existe otra forma posible para su resolución. 1. Ordenar el dividendo (va dentro de la galera), según las potencias descendentes (de mayor a menor) de una misma literal que aparezca en ambos polinomios. 2. Si el dividendo no cuenta con todas sus potencias continuas, debemos dejar un espacio en blanco en donde éstas falten. 3. Para obtener el primer termino del cociente, dividimos el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor. 4. Multiplicamos este primer término del cociente por todo el divisor y se resta algebraicamente del dividendo. 5. El residuo obtenido se trata como un nuevo dividendo y se repiten los pasos 3 y 4. 6. Continuamos con este proceso, hasta que en el residuo el exponente de la literal que escogimos sea menor que el exponente de la misma literal en el divisor. NOTA: LA VERDAD NO LE PUDE REPRESENTAR NINGÚN EJEMPLO PORQUE ESTABA UN POCO DIFÍCIL DE HACERLO, PERO CREO QUE EL PROCEDIMIENTO ES MUY ENTENDIBLE. Productos notables Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Factor común El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva: Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y Ejemplo: Cuadrado de un binomio Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así: Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo. Ejemplo: Simplificando: Producto de dos binomios con un término común Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.